MATHS

1. Posons \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(f_n : t \mapsto \frac{1}{1+t^n}\) définie sur \(I = [1, +\infty[\). \( \underline{\text{Les } f_n \text{ sont bien continues et positives sur } I} \). \( \\ \) 2. Soit \(t \in I\). Si \(t=1\), \(f_n(t) = \frac{1}{2} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2}\). Sinon, \(f_n(t) = \frac{1}{1+t^n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0\) car \((t > 1)\). Donc \((f_n)\) converge vers \[ f : t \mapsto \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } t=1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \] (\(f\) est bien continue). 3. On a \(\forall t \in I, \forall n \ge 2\), \[ |f_n(t)| = \frac{1}{1+t^n} \le \frac{1}{t^n} \le \frac{1}{t^2} \] Donc, \(|f_n(t)|\) est intégrable sur \(I\) car \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt\) converge. Conclusion : Ainsi, par le théorème de convergence dominée (TCVD),
\begin{align*} \underset{n \to +\infty}{\lim} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+t^n}dt & = \int_{1}^{+\infty} f(t)dt \\ & = \int_{1}^{+\infty}0 dt \\ \underset{n \to +\infty}{\lim} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+t^n}dt & = 0 \end{align*}