COURS MATHS
Algèbre générale
\((G, \ast)\) est un groupe ssi
\(\bullet\) \(\ast\) est une LCI
\(\bullet\) \(e \in G\)
\(\bullet\) \(\forall x \in G, x^{-1} \in G\)
\(\bullet\) associativité
\((A, +, \times)\) est un anneau ssi
\(\bullet\) \((A, +)\) est un groupe abélien
\(\bullet\) \(\times\) est une LCI
\(\bullet\) \(1 \in A\)
\(\bullet\) associativité du \(\times\)
\(\bullet\) distributivité
\((K, +, \times)\) est un corps ssi
\(\bullet\) \((K, +)\) est un groupe abélien
\(\bullet\) \((K\backslash\{0\}, \times)\) est un groupe abélien
\(\bullet\) distributivité
Remarque
parfois on impose pas le commutatif pour \( (K\backslash\{0\}, \times) \), ça dépend des définitions
Réduction
Théorème (Décomposition de Dunford) :
(\(u \in \mathcal{L}(E)\) où \(E\) ev de dim finie)
\(\mu_u\) est scindé
\(\Leftrightarrow\)
\(\bullet\) \(u = d + n\)
\(\bullet\) \(d\) est diagonalisable
\(\bullet\) \(n\) nilpotent
\(\bullet\) \(d\circ n = n\circ d\)
(cette décomposition est unique)
EVN
Normes équivalentes : notions de convergence, voisinage, ouvert, fermée c tout pareil